Manipuler les nombres réels

Seconde Générale et Technologique

B-01

Introduction

Puissances

Soit $a\in \mathbb{R^*}$ et $n\in \mathbb{N}$. La puissance $n$-ième de $a$ est notée $a^n$ et est définie par : $$a^0=1 \quad\quad a^n = \underbrace{a\times a\times \ldots \times a}_{n\text{ fois}} \quad\quad a^{-n} = \frac{1}{a^n}$$

Donnez l'écriture en puissance de $10$ : un millier , une dizaine de millions , une centaine de milliards, le dixième du centième, le millième du millième, le centième du centième, le micro, le nano, le mega, le giga, le tera.
Donnez l'écriture décimale des puissances de $2$ de $1$ à $2^{10}$.

Un millier $= 10^3$

Une dizaine de millions $= 10^7$

Une centaine de milliards $= 10^{11}$

Le dixième du centième ets le millième $= 10^{-3}$

Le millième du millième est le millionième ou le micro $= 10^{-6}$

Le centième du centième est le dix-millième $= 10^{-4}$

Le micro $= 10^{-6}$

Le nano $= 10^{-9}$

Le mega $= 10^6$

Le giga $= 10^9$

Le tera $= 10^{12}$
$2^0 = 1$

$2^1 = 2$

$2^2 = 4$

$2^3 = 8$

$2^4 = 16$

$2^5 = 32$

$2^6 = 64$

$2^7 = 128$

$2^8 = 256$

$2^9 = 512$

$2^{10} = 1024$

Calculez.

$2^5$
$3^4$
$5^0$
$5^1$
$(-2)^5$
$(-3)^4$
$(-3)^3$
$(-2)^4$
$-5^2$
$-5^3$
$\frac{1}{2^3}$
$\frac{1}{(-3)^2}$

$2^5 = 2\times 2\times 2\times 2\times 2 = 32$
$3^4 = 3\times 3\times 3\times 3 = 81$
$5^0 = 1$
$5^1 = 5$
$(-2)^5 = (-2)\times (-2)\times (-2)\times (-2)\times (-2) = -32$
$(-3)^4 = (-3)\times (-3)\times (-3)\times (-3) = 81$
$(-3)^3 = (-3)\times (-3)\times (-3) = -27$
$(-2)^4 = (-2)\times (-2)\times (-2)\times (-2) = 16$
$-5^2 = -(5\times 5) = -25$
$-5^3 = -(5\times 5\times 5) = -125$
$\frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$
$\frac{1}{(-3)^2} = \frac{1}{9}$

Un carré parfait est un nombre qui peut s'écrire sous la forme $a^2$ avec $a\in \mathbb{N}$.

Donnez les carrés parfaits de $0$ à $15^2$.

$0^2 = 0$
$1^2 = 1$
$2^2 = 4$
$3^2 = 9$
$4^2 = 16$
$5^2 = 25$
$6^2 = 36$
$7^2 = 49$
$8^2 = 64$
$9^2 = 81$
$10^2 = 100$
$11^2 = 121$
$12^2 = 144$
$13^2 = 169$
$14^2 = 196$
$15^2 = 225$

Nombres décimaux

Un nombre décimal est un nombre qui peut s'écrire sous la forme $\frac{a}{10^n}$ avec $a\in \mathbb{Z}$ et $n\in \mathbb{N}$. L'ensemble des nombres décimaux est noté $\mathbb{D}$.

Démontrez par l'absurde que $\frac{1}{3}$ n'est pas décimal en utilisant la définition et le critère de divisibilité par $3$.

Supposons que $\frac{1}{3}$ est un nombre décimal.

Alors il existe $a\in \mathbb{Z}$ et $n\in \mathbb{N}$ tels que $$\frac{1}{3} = \frac{a}{10^n}$$

D'où $10^n = 3a$.

D'après le critère de divisibilité par $3$ la somme des chiffres de $10^n$ doit être divisible par $3$.

Or la somme des chiffres de $10^n$ est $1$.

Donc $10^n$ n'est pas divisible par $3$ ce qui est une contradiction.

Donc $\frac{1}{3}$ n'est pas un nombre décimal.

Pour déterminer si un nombre est décimal, il suffit :

de vérifier qu'on peut l'écrire sous forme d'une fraction dont le dénominateur est un puissance de $10$
ou de l'écrire sous forme irréductible et de vérifier si le dénominateur ne comporte que des $2$ et des $5$.

Dans le cas contraire le nombre est non décimal.

Écrivez les nombres suivants sous la forme $\frac{a}{10^n}$ avec $a\in \mathbb{Z}$ et $n\in \mathbb{N}$ :

$\dfrac{2}{5}$
$\dfrac{3}{2}$
$\dfrac{3}{4}$
$\dfrac{1}{8}$
$\dfrac{16}{50}$
$\dfrac{9}{25}$
$\num{3.2}$
$\num{0.032}$
$\num{32}\times 10^{-3}$

$\dfrac{2}{5} = \dfrac{4}{10}
$\dfrac{3}{2} = \dfrac{15}{10}$
$\dfrac{3}{4} = \dfrac{75}{100}$
$\dfrac{1}{8} = \dfrac{125}{1000}$
$\dfrac{16}{50} = \dfrac{32}{100}$
$\frac{9}{25} = \dfrac{36}{100}$
$\num{3.2} = \dfrac{32}{10}$
$\num{0.032} = \dfrac{32}{10^3}$
$\num{32}\times 10^{-3} = \dfrac{32}{10^3}$

Montrez la nature des nombres suivants (décimal ou non décimal) :

$\dfrac{3}{15}$
$\dfrac{2}{12}$
$\dfrac{5}{15}$
$\dfrac{3}{12}$
$\dfrac{9}{12}$

$\dfrac{12}{9}$
$\dfrac{21}{14}$
$\dfrac{49}{14}$
$\dfrac{27}{54}$
$\dfrac{14}{49}$

$\dfrac{3}{15} = \dfrac{1}{5}$ décimal
$\dfrac{2}{12} = \dfrac{1}{2\times 3}$ non décimal
$\dfrac{5}{15} = \dfrac{1}{3}$ non décimal
$\dfrac{3}{12} = \dfrac{1}{2^2}$ décimal
$\dfrac{9}{12} = \dfrac{3}{2^2}$ décimal
$\dfrac{12}{9} = \dfrac{4}{3}$ non décimal
$\dfrac{21}{14} = \dfrac{3}{2}$ décimal
$\dfrac{49}{14} = \dfrac{7}{2}$ décimal
$\dfrac{27}{54} = \dfrac{1}{2}$ décimal
$\dfrac{14}{49} = \dfrac{2}{7}$ non décimal

L'écriture d'un nombre décimal en notation scientifique est la forme $$a\times 10^n$$ avec $a\in \mathbb{D}$, $n\in \mathbb{Z}$ et tel que $1\leqslant a\lt 10$.

Écrivez les nombres suivants en notation scientifique :

$\num{0.0007}$
$\num{700000}$
$\num{0.07}$
$\num{7000}$
$\num{0.032}$
$\num{32000}$
$\num{320}$
$\num{0.0032}$
$\num{0.2345}$
$\num{2345}$
$\num{234.5}$
$\num{23.45}$

$\num{0.0007} = 7\times 10^{-4}$
$\num{700000} = 7\times 10^5$
$\num{0.07} = 7\times 10^{-2}$
$\num{7000} = 7\times 10^3$
$\num{0.032} = 3.2\times 10^{-2}$
$\num{32000} = 3.2\times 10^4$
$\num{320} = 3.2\times 10^2$
$\num{0.0032} = 3.2\times 10^{-3}$
$\num{0.2345} = 2.345\times 10^{-1}$
$\num{2345} = 2.345\times 10^3$
$\num{234.5} = 2.345\times 10^2$
$\num{23.45} = 2.345\times 10$

Racine carrée

Soit $a$ un réel positif. Alors $\sqrt{a^2} = (\sqrt{a})^2 = a$.

Calculez.

$\sqrt{98^2}$
$(\sqrt{98})^2$
$\sqrt{2\times 98}$
$\sqrt{\frac{98}{2}}$
$\sqrt{50^2}$
$(\sqrt{50})^2$
$\sqrt{2\times 50}$
$\sqrt{\frac{50}{2}}$
$\sqrt{27^2}$
$(\sqrt{27})^2$
$\sqrt{3\times 27}$
$\sqrt{\frac{27}{3}}$

$\sqrt{98^2} = 98$
$(\sqrt{98})^2 = 98$
$\sqrt{2\times 98} = \sqrt{196} = 14$
$\sqrt{\frac{98}{2}} = \sqrt{49} = 7$
$\sqrt{50^2} = 50$
$(\sqrt{50})^2 = 50$
$\sqrt{2\times 50} = \sqrt{100} = 10$
$\sqrt{\frac{50}{2}} = \sqrt{25} = 5$
$\sqrt{27^2} = 27$
$(\sqrt{27})^2 = 27$
$\sqrt{3\times 27} = \sqrt{81} = 9$
$\sqrt{\frac{27}{3}} = \sqrt{9} = 3$

Calculez.

$\sqrt{\num{0.64}}$
$\sqrt{\num{1600}}$
$\sqrt{\num{0.36}}$
$\sqrt{\num{0.04}}$
$\sqrt{\num{1.69}}$
$\sqrt{\num{0.09}}$
$\sqrt{\num{1.21}}$
$\sqrt{\num{14400}}$

$\sqrt{\num{0.64}} = \num{0.8}$
$\sqrt{\num{1600}} = \num{40}$
$\sqrt{\num{0.36}} = \num{0.6}$
$\sqrt{\num{0.04}} = \num{0.2}$
$\sqrt{\num{1.69}} = \num{1.3}$
$\sqrt{\num{0.09}} = \num{0.3}$
$\sqrt{\num{1.21}} = \num{1.1}$
$\sqrt{\num{14400}} = \num{120}$

Nombres rationnels

Un nombre rationnel est un nombre qui peut s'écrire sous la forme $\frac{a}{b}$ avec $a\in \mathbb{Z}$, $b\in \mathbb{N}$ et $b$ non nul. L'ensemble des nombres rationnels est noté $\mathbb{Q}$.

Démontrez par l'absurde que $\sqrt{2}$ n'est pas un nombre rationnel autrement dit qu'il ne peut pas s'écrire sous forme d'une fraction irréductible. Utilisez pour cela deux fois la propriété suivante : « Si $a^2$ est pair alors $a$ est pair ».

Supposons que $\sqrt{2}$ peut s'écrire sous la forme d'une fraction irréductible $\frac{a}{b}$.

D'où $2 = \frac{a^2}{b^2}$.

D'où $2b^2 = a^2$.

D'où $a^2$ est pair.

D'où $a$ est pair.

D'où $a = 2k$ avec $k\in \mathbb{Z}$.

D'où $2b^2 = 4k^2$.

D'où $b^2 = 2k^2$.

D'où $b^2$ est pair.

D'où $b$ est pair.

D'où $a$ et $b$ sont pairs.

D'où $\frac{a}{b}$ n'est pas une fraction irréductible ce qui est une contradiction.

Donc $\sqrt{2}$ n'est pas un nombre rationnel.

Un nombre est dit irrationnel s'il n'est pas rationnel. $\sqrt{2}\approx\num{1.41}$ et $\pi\approx\num{3.14}$ sont deux exemples de nombres irrationnels.

Soient $x$ un nombre irrationnel et $\frac{a}{b}$ un nombre où $a$ et $b$ sont des entiers. Démontrez par l'absurde qu'il n'existe pas de nombre $\frac{c}{d}$ où $c$ et $d$ sont des entiers tels que $x\times \frac{a}{b} = \frac{c}{d}$.

Supposons qu'il existe $\frac{c}{d}$ tel que $x\times \frac{a}{b} = \frac{c}{d}$.

D'où $x = \frac{c}{d}\times \frac{b}{a}$.

D'où $x = \frac{c\times b}{d\times a}$.

D'où $x$ est rationnel ce qui est une contradiction.

Donc le produit d'un nombre rationnel par un nombre irrationnel est un nombre irrationnel.